Stopnie na radiany i radiany na stopnie

Ile to radianów 90 stopni?

90 stopni to π/2 radiana, czyli ok. 1,5708 rad. Zasada wynika z porównania pełnego obrotu w obu miarach: 360° to 2π rad, więc 180° = π rad. Stąd 1° = π/180 rad ≈ 0,0174533 rad, a 1 rad = 180/π ≈ 57,2958°, czyli 57° 17′ 45″.

Radian to kąt środkowy, przy którym łuk okręgu ma długość równą promieniowi. Nie zależy od wielkości koła, dlatego broszura SI wydana przez BIPM (wydanie 9 z 2019 roku) zalicza go do jednostek pochodnych układu SI i wyraża jako m/m, czyli stosunek dwóch długości. Stopień do SI nie należy, ale broszura dopuszcza go do stosowania razem z jednostkami SI i definiuje jako π/180 rad. Minuta kątowa to 1/60 stopnia, a sekunda 1/60 minuty. Stopnie są dużo starsze od radianów: podział koła na 360 części przypisuje się astronomom babilońskim, a miarę łukową opisał Roger Cotes na początku XVIII wieku. Sama nazwa „radian” trafiła do druku dopiero w 1873 roku.

Jak zamienić stopnie na radiany i radiany na stopnie?

Stopnie mnożysz przez π i dzielisz przez 180. W szkole wynik zostawia się zwykle jako ułamek π: 60° × π/180 = π/3, bo 60/180 skraca się do 1/3. Radiany na stopnie zamieniasz odwrotnie, mnożąc przez 180/π. Jeśli kąt ma w zapisie π, to π się skraca: 3π/4 × 180/π = 3 × 180 ÷ 4 = 135°. Bez π trzeba podzielić przez 3,14159…, więc 2 rad to 114,5916°.

Przelicznik rozpoznaje kąty będące wielokrotnością π/12 (15°) i π/8 (22,5°), więc 22,5° pokaże jako π/8, a 67,5° jako 3π/8. W polu radianów możesz wpisać π wprost: π/6, 2π/3 albo 2pi.

Gdzie spotkasz radiany i stopnie?

Matematyka w liceum

Miara łukowa wraca przy kole jednostkowym i wykresach funkcji trygonometrycznych: okres sinusa to 2π, a tangens nie istnieje dla π/2. Na kole jednostkowym najczęściej pojawiają się kąty 30°, 45° i 60°, czyli π/6, π/4 i π/3, oraz ich wielokrotności z tabeli powyżej.

Programowanie i arkusze kalkulacyjne

Math.sin, Math.cos i Math.tan w JavaScripcie, math.sin w Pythonie i SIN w Excelu przyjmują radiany. Math.sin(90) zwraca ok. 0,894, bo liczy sinus 90 radianów. Poprawnie jest Math.sin(90 * Math.PI / 180). Python ma gotowe funkcje math.radians() i math.degrees(), a polski Excel funkcje RADIANY() i STOPNIE(). W CSS funkcja rotate() przyjmuje stopnie (90deg), radiany (1.5708rad) i obroty (0.25turn).

Kalkulator naukowy

Napis DEG, RAD albo GRAD na wyświetlaczu decyduje o tym, jak kalkulator czyta kąt. W trybie RAD sin(30) daje ok. -0,988 zamiast 0,5. GRAD to grady, zwane też gonami: kąt pełny ma ich 400, więc 1 grad to 0,9°. Spotkasz je głównie w geodezji.

Współrzędne GPS

Mapy internetowe podają położenie w stopniach dziesiętnych, a mapy papierowe często w stopniach, minutach i sekundach. Nawigacja morska i lotnicza używa też zapisu mieszanego: stopnie i minuty z częścią dziesiętną. Warszawa leży na szerokości ok. 52,2297° N, czyli 52° 13′ 47″. Jedna sekunda szerokości geograficznej to ok. 31 m w terenie, a szósta cyfra po przecinku w stopniach dziesiętnych to ok. 11 cm. Mila morska (1852 m) odpowiada w przybliżeniu jednej minucie łuku południka, stąd jej związek z kątami i z węzłami.

Jak przeliczać kąty w pamięci?

Zapamiętaj, że 1 rad ≈ 57°. Radiany pomnożone przez 57 dają stopnie zaniżone o 0,52%: 2 rad × 57 = 114° zamiast 114,59°. W drugą stronę stopnie mnożysz przez 0,0175, co zawyża wynik o 0,27%: 90° × 0,0175 = 1,575 zamiast 1,5708 rad. Przy kątach z tabeli prościej pamiętać ułamki: 30° to π/6, 45° to π/4, 60° to π/3, a 90° to π/2.

Na co uważać przy przeliczaniu kątów?

• Minuty to nie część dziesiętna. 52° 30′ to 52,5°, a 52,30° to 52° 18′. Taka pomyłka przesuwa punkt o ok. 22 km wzdłuż południka.
• Szerokość S i długość W w stopniach dziesiętnych zapisuje się ze znakiem minus: 33,8688° S to -33,8688°.
• Zaokrąglaj dopiero na końcu. Mnożnik π/180 skrócony do 0,017 daje dla 360° wynik 6,12 zamiast 6,2832 rad.
• Sprawdź tryb kalkulatora i dokumentację funkcji w programie, zanim policzysz sinus czy cosinus.

Jak zamienić stopnie dziesiętne na stopnie, minuty i sekundy?

1. Część całkowita to stopnie: z 52,2297° zostaje 52°.
2. Część ułamkową pomnóż przez 60: 0,2297 × 60 = 13,782, czyli 13′.
3. Resztę minut znowu pomnóż przez 60: 0,782 × 60 = 46,92, po zaokrągleniu 47″.
4. W drugą stronę dodaj części: 52 + 13/60 + 47/3600 ≈ 52,229722°.

Oba przeliczniki na górze strony robią to samo i pokazują obliczenia. Wynik zamiany stopni na radiany zapisuje się w adresie strony, więc link możesz wysłać komuś innemu. Podobny podział na części po 60 znajdziesz przy zamianie minut na godziny.